簡介/數理資優班二年級任瑨洋同學利用積分的方法把橢圓的面積算出來,圖是由他自己繪製完成。
作者/任瑨洋,2016年畢業班,個人研究網頁: http://blog.xuite.net/mkmars/blog
首先,我先將橢圓在直角坐標的公式描述一遍:
如果把它化為參數式,就會變成這樣:
好,現在我們來看一個橢圓。由於證明過程中會用到積分,所以整塊一起算並不方便。不過我們可以將一個橢圓的中心放在直角坐標系,並將其切成四塊,然後用第一象限的部分來算(即為紅色部分)。
現在,我們想像若將途中D點與B點的距離拉到無限靠近,那麼DBCE就會是一個矩形了,對吧!若將矩形的長設為y,矩形的寬設為dx,再將dx乘以y做積分,就可以得到以下的方程式:(其中,sin(t)積分會變成-cos(t),cos(t)積分會變成sin(t)。)
證明完畢!